题目内容
已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，-1），离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求S△ABF2的取值范围．
| ||
| 3 |
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1作直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求S△ABF2的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由焦点求得c=1，再由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为：y=kx-1，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，求出|x1-x2|的范围，注意运用单调性求范围，再由面积公式，即可得到所求范围．
（2）设直线AB的方程为：y=kx-1，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，求出|x1-x2|的范围，注意运用单调性求范围，再由面积公式，即可得到所求范围．
解答：
解：（1）椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1（0，-1），
即有c=1，且离心率为
，即有
=
，
解得，a=
，则b=
=
，
则椭圆方程为
+
=1；
（2）设直线AB的方程为：y=kx-1，
联立椭圆方程，消去y，得，（3+2k2）x2-4kx-4=0，
x1+x2=
，x1x2=
，
则|x1-x2|=
=
=4
•
，令t=
（t≥1），
则|x1-x2|=4
•
=4
•
，
（2t+
）′=2-
＞0在t≥1成立，即有2t+
≥3，
则有|x1-x2|的范围是（0，
]．
则S△ABF2=
|x1-x2|×2c=|x1-x2|，
即有S△ABF2的取值范围是（0，
]．
即有c=1，且离心率为
| ||
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
解得，a=
| 3 |
| a2-c2 |
| 2 |
则椭圆方程为
| y2 |
| 3 |
| x2 |
| 2 |
（2）设直线AB的方程为：y=kx-1，
联立椭圆方程，消去y，得，（3+2k2）x2-4kx-4=0，
x1+x2=
| 4k |
| 3+2k2 |
| -4 |
| 3+2k2 |
则|x1-x2|=
| (x1+x2)2-4x1x2 |
|
=4
| 3 |
| ||
| 3+2k2 |
| 1+k2 |
则|x1-x2|=4
| 3 |
| t |
| 1+2t2 |
| 3 |
| 1 | ||
2t+
|
（2t+
| 1 |
| t |
| 1 |
| t2 |
| 1 |
| t |
则有|x1-x2|的范围是（0，
4
| ||
| 3 |
则S△ABF2=
| 1 |
| 2 |
即有S△ABF2的取值范围是（0，
4
| ||
| 3 |
点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理解题，考查导数的运用，判断单调性，再由单调性求范围，属于中档题．
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