Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+2

，b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{

bn

an

}的前n项和T_n，问是否存在正整数m、M，且M-n=3，使得m＜T_n＜M对一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m、M的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）把数列递推式取倒数，整理得到数列{

1

an

}是等差数列，求出首项和公差，得到其通项公式，则数列
{a_n}的通项公式可求，再由b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n，取n=n-1得另一递推式，作差后可得数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}和{b_n}的通项公式代入

bn

an

，利用错位相减法求前n项和T_n，由单调性结合放缩法证得答案．

解答： 解：（1）由a_n+1=

2an

an+2

，得

1

an+1

=

an+2

2an

=

1

2

+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

．
∴数列{

1

an

}是首项为

1

a1

=

3

2

，公差为

1

2

的等差数列．
∴

1

an

=

3

2

+(n-1)•

1

2

=

n+2

2

，即an=

2

n+2

．
∵b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n  ①，
∴b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1=n-1 （n≥2）②．  
①-②得2^n-1b_n=1，即bn=

1

2n-1

(n≥2)．
由①知，b₁=1也满足上式，故bn=

1

2n-1

；
（2）由（1）知，

bn

an

=

n+2

2n

，下面用“错位相减法”求T_n．
Tn=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

       ③，

1

2

Tn=

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

+

n+2

2n+1

  ④．
③-④得

1

2

Tn=

3

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+2

2n+1

=2-

n+4

2n+1

，
∴Tn=4-

n+4

2n

＜4．
又

an

bn

＞0，则数列{T_n}单调递增，故Tn≥T1=

3

2

＞1，从而1＜T_n＜4．
因此，存在正整数m=1、M=4且M-m=3，使得m＜T_m＜M对一切n∈N^*恒成立．

点评：本题考查了数列递推式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．