Question

已知函数f（x）=ax³+3x-1．
（1）若f（x）在x=-2处取得极值，讨论f（x）的单调性；
（2）对x∈[-1，1]时，f（x）≤0，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由极值的意义求得a，利用导数即可判断函数的单调性；
（2）由题意把问题转化为求函数的极值问题解决，利用导数求出函数的极值，列出不等式解得即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+3，
∵f（x）在x=-2处取得极值，
∴f′（-2）=12a+3=0，∴a=-

1

4

，
∴f′（x）=-

3

4

x²+3=-

3

4

（x²-4）=-

3

4

（x+2）（x-2），
∴x＞2或x＜-2时，f′（x）＜0，-2＜x＜2时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调区间是（-2，2），单调递减区间是（-∞，-2）和（2，+∞）．
（2）∵x∈[-1，1]时f（x）≤0，
∴f（-1）=-a-3-1≤0，f（1）=a+3-1≤0，
∴-4＜a＜-2，
∴f′（x）=3ax²+3=3a（x²+

1

a

）=3a（x+

- 1 a

）（x-

- 1 a

），且

1

2

≤

- 1 a

≤

2

2

，
列表如下：

x	[-1，- - 1 a ]	- - 1 a	（- - 1 a ， - 1 a ）	- 1 a	（ - 1 a ，1]
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴要x∈[-1，1]时，f（x）≤0，只要f（-1）≤0，f（

- 1 a

）≤0，
由f（

- 1 a

）=a（-

1

a

）

- 1 a

+3

- 1 a

-1=2

- 1 a

-1≤0，得a≤-4，
∴a≤-4．

点评：本题主要考查利用导数求函数的极值判断函数的单调性等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．