Question

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求cosB的值； 
（Ⅱ）边b²=ac，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据A、B、C成等差数列以及内角和定理，求出B以及cosB的值；
（Ⅱ）解法一：根据正弦定理和同角的三角函数关系求出sinAsinC的值；解法二：结合题意，根据余弦定理求出△ABC是等边三角形，即得sinAsinC的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=180°，
∴B=60°，cosB=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）解法一：
由b²=ac，根据正弦定理得sin²B=sinAsinC，
又cosB=$\frac{1}{2}$，
∴sinAsinC=1-cos²B=$\frac{3}{4}$．
解法二：
由b²=ac及cosB=$\frac{1}{2}$，
根据余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了等差数列的定义和内角和定理的应用问题，是中档题．