在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$.当t=1时.曲线C1上的点为A.当t=-1时.曲线C1上的点为B.以O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$(Ⅰ) � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数，-1≤t≤1），当t=1时，曲线C₁上的点为A，当t=-1时，曲线C₁上的点为B，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C₂的极坐标方程$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$
（Ⅰ）求线段AB的极坐标方程；C₂的参数方程
（Ⅱ）设M是曲线C₂上的动点，求|MA|²+|MB|²最大值及取最大值时点M的直角坐标．

分析（Ⅰ）求出A$（-1，\sqrt{3}），B（1，-\sqrt{3}）$，从而求出线人段AB的直角坐标方程，进而能求出线段AB的极坐标方程；曲线C₂的极坐标方程转化为4ρ²+5（ρsinθ）²=36，由此能求出曲线C₂的直角坐标方程，从而能求出曲线C₂的参数方程．
（Ⅱ）设曲线C₂上的动点M（3cosα，2sinα），从而|MA|²+|MB|²=（3cosα+1）²+（2sinα-$\sqrt{3}$）²+（3 cosα-1）²+（2sinα+$\sqrt{3}$）²=10cos²α+16≤26，由此能求出|MA|²+|MB|²的最大值及对应的M点坐标．

解答解：（Ⅰ）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数，-1≤t≤1），
当t=1时，曲线C₁上的点为A，当t=-1时，曲线C₁上的点为B，
∴A$（-1，\sqrt{3}），B（1，-\sqrt{3}）$，
∴线段AB的直角坐标方程为：$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{-1-1}$=-$\sqrt{3}$，（-1≤x≤1），
整理，得：$\sqrt{3}x+y=0$，（-1≤x≤1），
∴线段AB的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ$+ρsinθ=0，即2sin（$θ+\frac{π}{3}$）=0，（θ∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）．
∵曲线C₂的极坐标方程$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，化为ρ²（4+5sin²θ）=36，
∴4ρ²+5（ρsinθ）²=36，
∴曲线C₂的直角坐标方程为4（x²+y²）+5y²=36，化为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，（α为参数）．
（Ⅱ）设曲线C₂上的动点M（3cosα，2sinα），
∵A（-1，$\sqrt{3}$），B（1，-$\sqrt{3}$），
|MA|²+|MB|²=（3cosα+1）²+（2sinα-$\sqrt{3}$）²+（3 cosα-1）²+（2sinα+$\sqrt{3}$）²
=18cos²α+8sin²α+8=10cos²α+16≤26，当cosα=±1时，取得最大值26．
∴|MA|²+|MB|²的最大值是26，此时M（3，0），（-3，0）．