已知点A.B是椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的左.右顶点.F为左焦点.点P是椭圆上异于A.B的任意一点.直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M.直线MN⊥BP于点N．(1)求证:直线AP与直线BP的斜率之积为定值,(2)若直线MN过焦点F.$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$.求实数λ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知点A，B是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N．
（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；
（2）若直线MN过焦点F，$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$（λ∈R），求实数λ的值．

分析（1）根据题意，设P（x₀，y₀），由P的坐标表示直线AP与直线BP的斜率，求其积可得${k_{AP}}•{k_{BP}}=\frac{y_0}{{{x_0}+a}}•\frac{y_0}{{{x_0}-a}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}$，由椭圆的性质即可得证明；
（2）设直线AP与BP斜率分别为k₁、k₂，进而可得直线AP的方程，分析可得${k_{MN}}=-\frac{a^2}{b^2}•{k_1}$，又F、N、M三点共线，得k_MF=k_MN，即$\frac{{2a{k_1}}}{a+c}=\frac{a^2}{b^2}•{k_1}$，由向量的数乘运算的意义分析可得证明．

解答解：（1）证明：设P（x₀，y₀）（x₀≠±a），
由已知A（-a，0），B（a，0），
∴${k_{AP}}•{k_{BP}}=\frac{y_0}{{{x_0}+a}}•\frac{y_0}{{{x_0}-a}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}$．①
∵点P在椭圆上，∴$\frac{{{x_0}^2}}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}=1$．②
由①②得${k_{AP}}•{k_{BP}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}=\frac{{-\frac{b^2}{a^2}（{x_0}^2-{a^2}）}}{{{x_0}^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}$（定值）．
∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值$-\frac{b^2}{a^2}$．
（2）设直线AP与BP斜率分别为k₁、k₂，
由已知F（-c，0），直线AP的方程为y=k₁（x+a），
直线l：x=a，则M（a，2ak₁）．
∵MN⊥BP，∴k_MN•k₂=-1．
由（1）知${k_1}•{k_2}=-\frac{b^2}{a^2}$，故${k_{MN}}=-\frac{a^2}{b^2}•{k_1}$，
又F、N、M三点共线，
得k_MF=k_MN，即$\frac{{2a{k_1}}}{a+c}=\frac{a^2}{b^2}•{k_1}$，
得2b²=a（a+c）．
∵b²=a²-c²，
∴2（a²-c²）=a²+ac，2c²+ac-a²=0，$2{（\frac{c}{a}）^2}+\frac{c}{a}-1=0$，
解得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$或$\frac{c}{a}=-1$（舍去）．
∴a=2c．
由已知$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$，得（a-c，0）=λ（a+c，0），
将a=2c代入，得（c，0）=λ（3c，0），故$λ=\frac{1}{3}$．

	A．	充要条件		B．	充分不必要条件
	C．	必要不充分条件		D．	既不充分也不必要条件

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