Question

12．表面积为16π的球面上有四个点P，A，B，C，且△ABC是边长为$2\sqrt{3}$的等边三角形，若平面PAB⊥平面ABC，则棱锥P-ABC体积的最大值为3．

Answer 1

分析 取AB中点N，由题设条件推导出当棱锥P-ABC体积取最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，由此能求出结果．

解答 解：由题意知半径为2的球面上，AB=BC=CA=2$\sqrt{3}$，
△ABC是大圆上的三角形，
设圆为O，AB中点为N，则ON=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴棱锥P-ABC体积取最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，
∴PN=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴棱锥P-ABC体积的最大值为：
$V=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}×\sqrt{3}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查球的性质，探索向何体的位置情况，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．