Question

植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵相距3米，开始时需将树苗集中放在某一树坑旁边，现将树坑从1至20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为

 

．若集中放在两个树坑旁边（每坑旁10棵树苗），则最佳坑位编号又分别为

 

、

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据已知中某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距3米，我们设树苗集中放置的树坑编号为x，并列出此时各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和，根据绝对值的性质，结合二次函数的性质即可得到使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小时，树苗放置的最佳坑位的编号．

解答： 解：设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x，
则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：
S=|1-x|×3+|2-x|×3+…+|20-x|×3
若S取最小值，则函数y=（1-x）²+（2-x）²+…+（20-x）²=20x²-420x+（1²+2²+…+20²）也取最小值，
由二次函数的性质，可得函数y=20x²-420x+（1²+2²+…+20²）的对称轴为x=10.5
又∵为正整数，∴x=10或x=11．
设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x和x+10，
则S=[|1-x|×3+|2-x|×3+…+|20-x|×3]×2，
若S取最小值，则函数y=（1-x）²+（2-x）²+…+（10-x）²=10x²-110x+（1²+2²+…+10²）也取最小值，
由二次函数的性质，可得函数y=10x²-110x+（1²+2²+…+20²）的对称轴为x=5.5
又∵为正整数，∴x=5或x=6，
∴佳坑位编号又分别为5或6，15或16．
故答案为：10和11；5或6，15或16．

点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据绝对值的定义，我们将求一个绝对值函数最值问题，转化为一个二次函数的最值问题是解答本题的关键．