Question

16．如图是一幅椭圆形彗星轨道图，长4cm，高2$\sqrt{3}$cm，已知O为椭圆的中心，A₁，A₂是长轴两端点，太阳位移椭圆的左焦点F处．
（1）建立适当的坐标系，求椭圆的方程；
（2）求彗星运行到太阳正上方时两者在图上的距离．

Answer 1

分析 （1）如图所示，可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：2a=4，2$\sqrt{3}$=2b，解出即可得出．
（2）c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，可得F（1，0）．把x=1代入椭圆标准方程解出即可得出．

解答 解：（1）如图所示，
可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵2a=4，2$\sqrt{3}$=2b，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
∴F（1，0）．
把x=1代入椭圆标准方程可得$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
解得y=±$\frac{3}{2}$．
∴彗星运行到太阳正上方时两者在图上的距离=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．