Question

已知实数a，b，c满足a＞b＞c．
（1）求证：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0；
（2）现推广如下：把

1

c-a

的分子改为一个大于1的正整数p，使得

1

a-b

+

1

b-c

+

p

c-a

＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；
（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，

m

a-b

+

n

b-c

+

p

c-a

＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：利用分析法，结合综合法，即可证明结论．

解答： 证明：（1）由于a＞b＞c，所以a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0，
要证

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，
只需证明(a-c)(

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

)＞0．
左边=[(a-b)+(b-c)](

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

)=1+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥3＞0，证毕．
（2）欲使

1

a-b

+

1

b-c

+

p

c-a

＞0，只需(a-c)(

1

a-b

+

1

b-c

+

p

c-a

)＞0，
左边=[(a-b)+(b-c)](

1

a-b

+

1

b-c

+

p

c-a

)=2-p+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥4-p，
所以只需4-p＞0即可，即p＜4，所以可以取p=2，3代入上面过程即可．
（3）欲使

m

a-b

+

n

b-c

+

p

c-a

＞0，
只需(a-c)(

m

a-b

+

n

b-c

+

p

c-a

)＞0，
左边=[(a-b)+(b-c)](

m

a-b

+

n

b-c

+

p

c-a

)=m+n-p+

m(b-c)

a-b

+

n(a-b)

b-c

≥m+n+2

mn

-p，
只需m+n+2

mn

-p＞0，即

m

+

n

＞

p

（m，n，p∈Z⁺）．

点评：本题考查不等式的证明，考查分析法与综合法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．