Question

已知函数f（x）=

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x³+ax²+b，其中a，b∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程是3x+y+2=0，求a、b的值；
（2）若b=

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，且关于x的方程f（x）=0有两个不同的正实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，得到a，b的方程，解得即可；
（2）由于f（0）=b=

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＞0，关于x的方程f（x）=0有两个不同的正实数根，则有f（x）的极小值为负即可，通过导数的符号即可确定极小值点，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）=

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x³+ax²+b的导数f′（x）=x²+2ax，
则在点（-1，f（-1））处的切线斜率为：f′（-1）=1-2a，
由于在点（-1，f（-1））处的切线方程是3x+y+2=0，则1-2a=-3，
解得a=2，
又切点为（-1，1），则-

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+2+b=1，
解得b=-

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；
（2）函数f（x）=

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x³+ax²+b的导数，
f′（x）=x²+2ax，
由于f（0）=b=

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＞0，
关于x的方程f（x）=0有两个不同的正实数根，
则有f（x）的极小值为负即可．
由f′（x）=x²+2ax=x（x+2a），
则0＜x＜-2a，f′（x）＜0，x＜0或x＞-2a，f′（x）＞0，
则有a＜0，且f（-2a）＜0，
即有a＜0，且

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×（-8a³）+4a³+

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＜0，
解得，a＜-

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．
故实数a的取值范围是（-∞，-

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）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程、求极值，考查判断能力和运算能力，属于中档题和易错题．