Question

已知抛物线x²=4y，直线y=x+2与抛物线交于A，B两点，
（Ⅰ）求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）求△ABO的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

x2=4y y=x+2

，得x²-4x-8=0，由此利用韦达定理能求出

OA

•

OB

．
（Ⅱ）原点O到直线y=x+2的距离d=

2

2

=

2

，|AB|=

1+k2

|x1-x2|，由此能求出△ABO的面积．

解答： 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2=4y y=x+2

，得x²-4x-8=0，
△=16+32＞0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-8，…（2分）
∴y1y2=

(x1x2)2

16

=4，…（4分）
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-8+4=-4．…（5分）
（Ⅱ）原点O到直线y=x+2的距离d=

2

2

=

2

，…（7分）
|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

6

，…（9分）
∴S_△ABO=

1

2

d|AB|=

1

2

×

2

×4

6

=4

3

．…（10分）

点评：本题考查向量的数量积的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和弦长公式的合理运用．