Question

M、N是x²+y²=4上两点，若点A（1，0）满足MA⊥NA，求|MN|范围．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：根据MA⊥NA，确定A，MN满足的条件，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵M、N是x²+y²=4上两点，若满足MA⊥NA，
∴点A位于MN为直线的圆上，当AC垂直MN时，MN的长度取得最大（圆在A左侧）值和最小值（圆在A右侧），
此时直线AM的倾斜角为45°，AM的方程为y=x-1，得x=y+1，
代入x²+y²=4得2y²+2y-3=0，
解得y_M=

-1+2 2

2

或y_M′=

-1-2 2

2

，
则|MN|的最小值为2|y_M|=2×

-1+2 2

2

=2

2

-1，
|MN|的最大值为2|y_M′|=2×|

-1-2 2

2

|=2

2

+1，
故2

2

-1≤|MN|≤2

2

-1．

点评：本题主要考查直线和圆相交弦长的范围的求解，利用数形结合是解决本题的关键．