题目内容
已知m，n为不相等的正常数，x，y∈（0，+∞），
（1）试判断
+
与
的大小关系，并证明你的结论
（2）利用（1）的结论，求函数f（x）=
+
（x∈（0，
）
的最小值，并指出取得最小值时x的值．
（1）试判断
| m2 |
| x |
| n2 |
| y |
| (m+n)2 |
| x+y |
（2）利用（1）的结论，求函数f（x）=
| 5 |
| x |
| 9 |
| 1-5x |
| 1 |
| 5 |
的最小值，并指出取得最小值时x的值．
考点：基本不等式在最值问题中的应用,不等式比较大小,基本不等式
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）利用不等式（
+
）（x+y）=m2+n2+
+
≥m2+n22mn=（m+n）2，得证即
+
≥
（
=
等号成立）
（Ⅱ）凑出条件：f（x）=
+
=
+
≥
=64，利用上题解论即可．
| m2 |
| x |
| n2 |
| y |
| m2y |
| x |
| n2x |
| y |
| m2 |
| x |
| n2 |
| y |
| (m+n)2 |
| x+y |
| m |
| x |
| y |
| n |
（Ⅱ）凑出条件：f（x）=
| 5 |
| x |
| 9 |
| 1-5x |
| 25 |
| 5x |
| 9 |
| 1-5x |
| (5+3)2 |
| 1 |
解答：
解：（Ⅰ）证明：因为a，b是不相等的正常数，实数x，y∈（0，+∞），
所以应用均值不等式，得：（
+
）（x+y）=m2+n2+
+
≥m2+n22mn=（m+n）2，
即
+
≥
（
=
等号成立）
（Ⅱ）∵函数f（x）=
+
（x∈（0，
）
∴f（x）=
+
=
+
≥
=64，x∈（0，
）
但且仅当
=
，x=
，等号成立，
∴f（x）的最小值为64，此时x=
所以应用均值不等式，得：（
| m2 |
| x |
| n2 |
| y |
| m2y |
| x |
| n2x |
| y |
即
| m2 |
| x |
| n2 |
| y |
| (m+n)2 |
| x+y |
| m |
| x |
| y |
| n |
（Ⅱ）∵函数f（x）=
| 5 |
| x |
| 9 |
| 1-5x |
| 1 |
| 5 |
∴f（x）=
| 5 |
| x |
| 9 |
| 1-5x |
| 25 |
| 5x |
| 9 |
| 1-5x |
| (5+3)2 |
| 1 |
| 1 |
| 5 |
但且仅当
| 5 |
| 5x |
| 3 |
| 1-5x |
| 1 |
| 8 |
∴f（x）的最小值为64，此时x=
| 1 |
| 8 |
点评：本题考查了函数的性质，运用基本不等式求解问题，难度较大，很有创新性，关键是确定条件，运用结论．
练习册系列答案
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已知集合A={1，3，4}，B={2，3}，则A∩B等于（ ）
| A、{2} |
| B、{1，4} |
| C、{3} |
| D、{1，2，3，4} |
已知α是第三象限的角，那么
是（ ）象限的角．
| α |
| 2 |
| A、第二 | B、第三 |
| C、第二或第三 | D、第二或第四 |