Question

已知

a

=（sinωx，

3

sinωx），

b

=（sinωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

，且f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，根据辅助角公式，得到f(x)=sin(2ωx-

π

6

)，然后，结合周期公式求解即可；
（Ⅱ）直接结合正弦函数的单调性进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

-

1

2

=sin2ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

∴f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx
∴f(x)=sin(2ωx-

π

6

)…（4分）
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1…ks5u…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sin(2x-

π

6

)．
∴欲求f（x）的增区间，
只需 -

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，…（8分）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z…（10分）
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z…（12分）

点评：本题重点考查了三角函数的基本图象与性质、三角恒等变换公式、辅助角公式等知识，属于中档题，也是近几年高考的热点问题．