Question

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1，令f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

（m∈R，x＞0）．
（1）求g（x）的表达式；
（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x．证明：对任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）设g（x）=ax²+bx+c，根据g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1直接可得答案．
（2）先根据H（x）的导数小于等于0判断出H（x）单调递减的，只要证明|H（m）-H（1）|＜1即可．

解答： （1）解：设g（x）=ax²+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，
所以a=0.5，c=-1，
又g（1）=-1，则b=-0.5．
所以g（x）=0.5x²-0.5x-1．…（5分）
（2）证明：因为对?x∈[1，m]，H′（x）=

(x-1)(x-m)

x

≤0，
所以H（x）在[1，m]内单调递减．
于是|H（x₁）-H（x₂）|≤H（1）-H（m）=0.5m²-mlnm-0.5
证明|H（x₁）-H（x₂）|＜1，即证明0.5m-lnm-

3

2m

＜0，
记h（m）=0.5m-lnm-

3

2m

（1＜m≤e），
则h′（m）=

3

2

(

1

m

-

1

3

)2+

1

3

＞0，
所以函数h（m）=0.5m-lnm-

3

2m

在（1，e]是单调增函数，
所以h（m）≤h（e）=

(e-3)(e+1)

2e

＜0，故命题成立．…（12分）

点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式和根据导数的符号判断函数的增减性的问题．