Question

20．有关向量的如下命题中，正确命题的个数为（　　）
①若$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c\;（\overrightarrow{b}≠\overrightarrow 0）$，则$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$②$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c）$=（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow{c}$
③在△ABC中，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，则点P必为△ABC的垂心．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积定义判断①②，移项化简判断③．

解答 解：对于①，在等边三角形中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}$，显然$\overrightarrow{AB}≠\overrightarrow{CA}$，故①错误；
对于②，$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c）$表示与$\overrightarrow{a}$共线的向量，（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow{c}$表示与$\overrightarrow{c}$共线的向量，显然$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c）$≠（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow{c}$，故②错误；
对于③，若$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$，则$\overrightarrow{PB}•$（$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}$）=0，即$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{CA}=0$，
∴PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，
∴P是△ABC的垂心，故③正确．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．