Question

10．点P是焦点为F₁，F₂的双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$上的动点，若点I满足 $\overrightarrow{PI}|{\overrightarrow{{F_1}{F_2}}}|+\overrightarrow{{F_1}I}|{\overrightarrow{P{F_2}}}|+\overrightarrow{{F_2}I}|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=\overrightarrow 0$，则点I的横坐标为±5．

Answer 1

分析 由题意可知I为焦点三角形PF₁F₂的内心，根据双曲线的定义，及三角形内切圆的性质，即可求得丨丨AF₁丨-丨AF₂丨丨=2a=10，A是双曲线与x轴的交点，即A₁，A₂，由IA⊥F₁F₂，则点I的横坐标为±5．

解答 解：由点I满足 $\overrightarrow{PI}|{\overrightarrow{{F_1}{F_2}}}|+\overrightarrow{{F_1}I}|{\overrightarrow{P{F_2}}}|+\overrightarrow{{F_2}I}|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=\overrightarrow 0$，则I为焦点三角形PF₁F₂的内心，
设双曲线双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$的焦点三角形的内切圆且三边F₁F₂，PF₁，PF₂于点A，B，C，双曲线的两个顶点为A₁，A₂，
则 丨PC丨=丨PB丨，丨F₁C丨=丨F₁A丨，丨F₂B丨=丨F₂A丨，
丨丨PF₁丨-丨PF₂丨丨=丨丨CF₁丨-丨BF₂丨丨=丨丨AF₁丨-丨AF₂丨丨，
由丨丨PF₁丨-丨PF₂丨丨=2a=10，丨丨AF₁丨-丨AF₂丨丨=2a=10，
∴A在双曲线上，由A在F₁F₂上，
∴A是双曲线与x轴的交点，即A₁，A₂，
由IA_i⊥F₁F₂，i=1，2，则
∴点I的横坐标为±5，
故答案为：±5．

点评 本题考查双曲线的定义，双曲线焦点三角形内切圆的性质，双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点结论的应用，考查数形结合思想，属于中档题．