Question

9．在${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{4}{x}}}）^n}$的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（Ⅰ）求展开式中含有x的项的系数；     
（Ⅱ）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析 （I）根据前三项系数成等差数列计算n，再根据通项得出答案；
（II）根据通项判断x的次数为整数时对应的r，得出对应的项．

解答 解：（I）${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{4}{x}}}）^n}$的展开式的通项T_r+1=${C}_{n}^{r}$（$\sqrt{x}$）^n-r•$\frac{1}{{2}^{r}}$•（$\frac{1}{\root{4}{x}}$）^r=$\frac{1}{{2}^{r}}$${C}_{n}^{r}$•x${\;}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
∴展开式的前三项系数分别为1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$，
∴1+$\frac{n（n-1）}{8}$=n，解得n=1（舍）或n=8．
令$\frac{2n-3r}{4}$=1得r=4．
∴展开式中含有x的项的系数为$\frac{1}{{2}^{4}}$•${C}_{8}^{4}$=$\frac{35}{8}$．
（II）T_r+1=$\frac{1}{{2}^{r}}$${C}_{8}^{r}$x${\;}^{\frac{16-3r}{4}}$，
∴当r=0时，$\frac{16-3r}{4}$=4，T₁=${C}_{8}^{0}$x⁴=x⁴．
当r=4时，$\frac{16-3r}{4}$=1，T₅=$\frac{1}{{2}^{5}}$${C}_{8}^{5}$x=$\frac{14}{13}$x．
当r=8时，$\frac{16-3r}{4}$=-2，T₉=$\frac{1}{{2}^{8}}$${C}_{8}^{8}$x^-2=$\frac{1}{256{x}^{2}}$．
∴展开式中的有理项为x⁴，$\frac{14}{13}$x；$\frac{1}{256{x}^{2}}$．

点评 本题考查了二项式定理，属于中档题．