Question

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量$\overrightarrow m$=（sinB，cosB）与向量$\overrightarrow n=（0，\;-1）$的夹角为$\frac{π}{3}$，
求：（1）角B的大小；
（2）$\frac{a+c}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量的夹角公式即可求出角B的大小；
（2）利用正弦定理把边变化为角，利用三角函数的有界限即可求解取值范围

解答 解：（1）向量$\overrightarrow m$=（sinB，cosB）与向量$\overrightarrow n=（0，\;-1）$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{n}\right|•cos\frac{π}{3}$，
即：-cosB=$\frac{1}{2}$，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）由正弦定理，可得：$\frac{a+c}{b}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}$
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinA+sin（$\frac{π}{3}$-A）]=$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA）
=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin（A+$\frac{π}{3}$）
∵0＜A＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴1＜$\frac{a+c}{b}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故$\frac{a+c}{b}$的取值范围为（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查向量的夹角公式，三角形的正弦定理的运用，三角函数的有界性，考查运算能力，属于基础题．