Question

已知函数f（x）=

1

1+x2

，
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）利用函数单调性定义证明函数f（x）在（-∞，0]上是增函数；
（3）求函数f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用奇偶性的定义，先求定义域，再计算f（-x），与f（x）比较即可；
（2）运用单调性的定义，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）由奇偶函数的单调性，得到函数f（x）=

1

1+x2

在[-3，0]递增，（0，2]上递减，即可得到最值．

解答： （1）证明：函数f（x）的定义域为R，
f(-x)=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f(x)，
∴函数f（x）为偶函数；
（2）证明：设x₁＜x₂≤0，
f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

x22-x12

(1+x12)(1+x22)

=

(x2-x1)(x2+x1)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁＜x₂≤0，∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，0]上是增函数；
（3）解：由（1）（2）得，f（x）在（-∞，0]上增，在（0，+∞）上减，
则函数f（x）=

1

1+x2

在[-3，0]递增，（0，2]上递减，
∴f_max（x）=f（0）=1，f_min（x）=f（-3）=

1

10

．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断与证明和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．