Question

已知数列{a_n}是等差数列（a_k与公差d均不为0）．
（1）求证：k取任何正整数，方程a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0都有一个相同的实根；
（2）若上述方程的另一非零实根为a_k，求证：{

1

1+an

}是等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，2a_k+1=a_k+a_k+2，于是原方程可转化为（a_kx+a_k+2）（x+1）=0，从而可证结论；
（2）原方程另一根为x_n，利用韦达定理，可求得x_n=-

ak+2

ak

=-1-

2d

ak

，继而得

1

1+xn

=-

ak

2d

，利用等差数列的定义，证明即可．

解答： 证明：（1）∵数列{a_n}是等差数列，
∴2a_k+1=a_k+a_k+2，
原方程可转化为（a_kx+a_k+2）（x+1）=0，
∴k取任何正整数，方程a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0都有一个相同的实根-1；
（2）由题意，原方程另一根为x_n，x_n=-

ak+2

ak

=-1-

2d

ak

，
∴1+x_n=-

2d

ak

，
∴

1

1+xn

=-

ak

2d

，
∴

1

1+xn+1

-

1

1+xn

=

ak-ak+1

2d

=-

1

2

（常数）．
∴数列{

1

1+xn

}即{

1

1+an

}是以-

1

2

为公差的等差数列．

点评：本题考查等差关系得确定，考查方程思想与推理运算能力，属于中档题．