Question

已知f（x）=（ax²+（a-1）²x-a²+3a-12）e^x，a≥0；g（x）=lnx-x-3．
（1）求g（x）的最大值；
（2）若函数f（x）在（2，3）上单调，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知可求g′（x）=

1-x

x

，由于当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，可得g（x）_max的值．
（2）可求得：f′（x）=（ax²+（a²+1）x+a-11）e^x，当a=0时，2＜x＜3，f′（x）＜0，符合要求；当a＞0时，记m（x）=ax²+（a²+1）x+a-11，对称轴为：x=-

a2+1

2a

＜0，则要使f（x）在区间（2，3）上单调，只需m（2）≥0或m（3）≤0，从而解得a的取值范围．

解答： 解：（1）∵g′（x）=

1-x

x

…2分
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴g（x）_max=g（1）=-4…6分
（2）f′（x）=（ax²+（a²+1）x+a-11）e^x，
当a=0时，2＜x＜3，f′（x）＜0，符合要求；…8分
当a＞0时，记m（x）=ax²+（a²+1）x+a-11，
对称轴为：x=-

a2+1

2a

＜0…9分
则要使f（x）在区间（2，3）上单调，只需m（2）≥0或m（3）≤0
即

a＞0 2a2+5a-9≥0

或

a＞0 3a2+10a-11≤0

…11分
解得：a≥

97 -5

4

或0＜a≤

2

3

综上，a的取值范围为：a∈[0，

2

3

]∪[

97 -5

4

，+∞）…13分

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了不等式的解法及应用，属于中档题．