题目内容

14.已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0),两个焦点分别为F1、F2,斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点,设l与y轴交点为P,线段PF2的中点恰为B.
(1)若|k|≤$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,求椭圆C的离心率的取值范围.
(2)若k=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,A、B到右准线距离之和为$\frac{9}{5}$,求椭圆C的方程.

分析 (1)设右焦点F2(c,0),l:y=k(x-c)则P(0,-ck),由中点坐标公式可得:$B(\frac{c}{2},-\frac{ck}{2})$,由于B在椭圆上,可得${k^2}=\frac{{4{b^2}}}{c^2}\frac{{4{a^2}-{c^2}}}{{4{a^2}}}=(\frac{1}{e^2}-1)(4-{e^2})=\frac{4}{e^2}+{e^2}-5$,由于$|k|≤\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,解出即可得出.
(2)$k=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,可得$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,则$\frac{c^2}{a^2}=\frac{4}{5}$,椭圆方程为${x^2}+5{y^2}=\frac{5}{4}{c^2}$.直线l方程为$y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}(x-c),B(\frac{c}{2},-\frac{{\sqrt{5}}}{5}c)$,右准线为$x=\frac{5}{4}c$.设A(x0,y0)可得$(\frac{5}{4}c-{x_0})+(\frac{5}{4}c-\frac{c}{2})=\frac{9}{5}$,解出代入椭圆标准方程即可得出.

解答 解:(1)设右焦点F2(c,0),l:y=k(x-c)则P(0,-ck),
∵B为F2P的中点,∴$B(\frac{c}{2},-\frac{ck}{2})$,
∵B在椭圆上,∴$\frac{c^2}{{4{a^2}}}+\frac{{{c^2}{k^2}}}{{4{b^2}}}=1$,
∴${k^2}=\frac{{4{b^2}}}{c^2}\frac{{4{a^2}-{c^2}}}{{4{a^2}}}=(\frac{1}{e^2}-1)(4-{e^2})=\frac{4}{e^2}+{e^2}-5$,
∵$|k|≤\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,∴$\frac{4}{e^2}+{e^2}-5≤\frac{4}{5}$,
∴(5e2-4)(e2-5)≤0,∴$\frac{4}{5}≤{e^2}<1$,∴$e∈[\frac{{2\sqrt{5}}}{5},1)$.
(2)$k=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,∴$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,则$\frac{c^2}{a^2}=\frac{4}{5}$,∴${a^2}=\frac{5}{4}{c^2},{b^2}=\frac{1}{4}{c^2}$,
椭圆方程为$\frac{x^2}{{\frac{5}{4}{c^2}}}+\frac{y^2}{{\frac{1}{4}{c^2}}}=1$,即${x^2}+5{y^2}=\frac{5}{4}{c^2}$.
直线l方程为$y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}(x-c),B(\frac{c}{2},-\frac{{\sqrt{5}}}{5}c)$,右准线为$x=\frac{5}{4}c$.
设A(x0,y0)则$(\frac{5}{4}c-{x_0})+(\frac{5}{4}c-\frac{c}{2})=\frac{9}{5}$,
∴${x_0}=2c-\frac{9}{5},{y_0}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}(c-\frac{9}{5})$,
又∵A在椭圆上,∴${(2c-\frac{9}{5})^2}+5{[\frac{{2\sqrt{5}}}{5}(c-\frac{9}{5})]^2}=\frac{5}{4}{c^2}$,即(c-2)(5c-6)=0,
∴c=2或$c=\frac{6}{5}$.
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$或$\frac{{5{x^2}}}{9}+\frac{25}{9}{y^2}=1$.

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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