Question

3．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{a}&{1}\end{array}]$，若点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（0，-8）．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值．

Answer 1

分析 （1）根据矩阵的乘法，可得方程，即可求实数a的值；
（2）利用矩阵A的特征多项式为f（λ）=（λ-1）2-9=λ2-2λ-8，求矩阵A的特征值．

解答 解：（1）由$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{a}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}\\{-8}\end{array}]$，得a+1=-8，所以a=-9．
（2）由（1）知A=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{-9}&{1}\end{array}]$，则矩阵A的特征多项式为f（λ）=（λ-1）2-9=λ2-2λ-8，
令f（λ）=0，所以矩阵A的特征值为-2或4．

点评 本题考查矩阵的乘法，考查矩阵的特征值，考查学生的计算能力，比较基础．