题目内容
已知函数y=sin（ωx+
）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
，若存在最小正数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数，则该偶函数在[0，π]上的单调增区间为 ．
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性
专题：三角函数的图像与性质
分析：由三角函数的性质可知，函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离即为周期的
T，从而可求T，然后根据周期公式可求ω，从而可得f（x），函数的图象向左平移m个单位后所对应的函数f（x+m）是偶函数，从而可求m，得平移后的函数解析式，即可求该偶函数在[0，π]上的单调增区间．
| 1 |
| 2 |
解答：
解：由题意知，
=
，
∴T=
，
∴ω=
=3，
∴f（x）=sin（3x+
）；
又f（x+m）=sin（3x+3m+
）是偶函数，
∴3×0+3m+
=kπ+
（k∈Z），
即m=
+
（k∈Z）所以，最小的正实数m是
．
∴f（x+
）=sin（3x+3×
+
）=cos3x，
∴令π+2kπ≤3x≤2π+2kπ，可解得k=0时，该偶函数在[0，π]上的单调增区间为[
，
]．
故答案为：[
，
]．
| T |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴T=
| 2π |
| 3 |
∴ω=
| 2π |
| T |
∴f（x）=sin（3x+
| π |
| 4 |
又f（x+m）=sin（3x+3m+
| π |
| 4 |
∴3×0+3m+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
即m=
| kπ |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴f（x+
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
∴令π+2kπ≤3x≤2π+2kπ，可解得k=0时，该偶函数在[0，π]上的单调增区间为[
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
故答案为：[
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式，考查了由三角函数的部分图象的性质求解函数的解析式，还考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=
的零点个数是（ ）
|
| A、0 | B、1 | C、2 | D、3 |
如果函数y=f（x）在区间I上是增函数，而函数y=
在区间I上是减函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f（x）=
x2-x+
是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为（ ）
| f(x) |
| x |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| A、[1，+∞） | ||
B、[0，
| ||
| C、[0，1] | ||
D、[1，
|
已知定义在R上的连续函数f（x）是一个奇函数，则
[ex+f（x）]dx等于（ ）
| ∫ | 1 -1 |
A、e+
| ||
B、e-
| ||
| C、0 | ||
| D、无法计算 |