Question

已知幂函数g（x）=（m²-2）x^m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（-m+1）+f（-m-1）=

1

2

．
（1）求g（x），f（x）的解析式；
（2）若实数a满足f（2a-1）＜f（5-a），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据题意，求出m的值，得出g（x）的解析式，再求出f（x）的解析式；
（2）根据题意，利用f（x）的单调性，列出不等式组，求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵幂函数g（x）=（m²-2）x^m（m∈R）在（0，+∞）上为减函数，
∴

m2-2=1 m＜0

，
解得m=-

3

，
∴g（x）=x-

3

；
又∵f（x）是对数函数，且f（-m+1）+f（-m-1）=

1

2

，
∴设f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
∴log_a（-m+1）+log_a（-m-1）=

1

2

，
即log_a（m²-1）=log_a2=

1

2

，
解得a=4，
∴f（x）=log₄x；
（2）∵实数a满足f（2a-1）＜f（5-a），
且f（x）=log₄x在（0，+∞）上单调递增，
∴

2a-1＞0 5-a＞0 2a-1＜5-a

，
解得

a＞ 1 2 a＜5 a＜2

；
即

1

2

＜a＜2，
∴实数a的取值范围是（

1

2

，2）．

点评：本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．