Question

8．若变量x、y、z满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x+2y≥0}{x-y≤0}}\\{x-2y+2≥0}\end{array}\right.$，且m∈（-7，3），则z=$\frac{y}{x-m}$仅在点A（-1，$\frac{1}{2}$）处取得最大值的概率为（　　）

• A． $\frac{2}{7}$
• B． $\frac{1}{9}$
• C． $\frac{1}{10}$
• D． $\frac{3}{10}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由z=$\frac{y}{x-m}$的几何意义，即可行域内动点与定点（m，0）连线的斜率求得m的范围，由几何概型概率计算公式得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{x+2y≥0}{x-y≤0}}\\{x-2y+2≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

z=$\frac{y}{x-m}$的几何意义为可行域内动点与定点（m，0）连线的斜率，
∵z=$\frac{y}{x-m}$仅在点A（-1，$\frac{1}{2}$）处取得最大值，
∴由图可知-2＜m＜-1．
又m∈（-7，3），
∴z=$\frac{y}{x-m}$仅在点A（-1，$\frac{1}{2}$）处取得最大值的概率为P=$\frac{1}{3-（-7）}=\frac{1}{10}$．
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合直线斜率的几何意义是解决本题的关键，是中档题．