Question

18．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}+{（{-1}）^n}{log_2}{a_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设递增的等比数列{a_n}的公比为q＞1，a₁+a₄=9，a₂a₃=8=a₁a₄．解得a₁=1，a₄=8，可得q³=8，解得q，即可得出．
（II）S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．可得b_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$+（-1）ⁿn=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$+（-1）ⁿn．通过分类讨论即可得出．

解答 解：（I）设递增的等比数列{a_n}的公比为q＞1，a₁+a₄=9，a₂a₃=8=a₁a₄．
解得a₁=1，a₄=8，∴q³=8，解得q=2．
∴a_n=2^n-1．
（II）S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
∴b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}+{（{-1}）^n}{log_2}{a_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$+（-1）ⁿn=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$+（-1）ⁿn．
∴n=2k（k∈N^*），数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）+-1+2-3+…-（n-1）+n
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$+$\frac{n}{2}$．
n=2k-1（k∈N^*），数列{b_n}的前n项和T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$+$\frac{n-1}{2}$-n．
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、裂项求和法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．