Question

已知函数f（x）=x³+x 

1

3

，若不等式f（4^x-m•2^x+1）-f（4^-x-m•2^-x+1）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、m≤

  1

  2

• B、m≥

  1

  2

• C、m≤1
• D、m≥1

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的综合应用

分析：通过求f′（x）判断出f（x）在R上是增函数，所以由原不等式可得4^x-m•2^x+1≥4^-x-m•2^-x+1，该不等式又可变成4^x-4^-x≥m（2^x+1-2^-x+1），所以要求m的取值范围需讨论2^x+1-2^-x+1是否为0：x=0时，上面不等式成立；x≠0时，上面不等式变成m≤

2x+2-x

2

，而

2x+2-x

2

≥1，所以m≤1，这样即求出了m的范围．

解答： 解：f′（x）=3x2+

1

3

x-

2

3

＞0；
∴f（x）在R上是增函数；
由原不等式得f（4^x-m•2^x+1）≥f（4^-x-m•2^-x+1）；
∴4^x-m•2^x+1≥4^-x-m•2^-x+1；
∴4^x-4^-x≥m（2^x+1-2^-x+1），
①x=0时对任意m∈R上面不等式都成立；
②x≠0时上面不等式变成m≤

2x+2-x

2

；
2^x+2^-x≥2，∴

2x+2-x

2

≥1；
∴m≤1；
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．
故选：C．

点评：考查根据导数符号判断函数的单调性的方法，对增函数定义的运用，平方差公式以及基本不等式．