Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=

1

2

；a₁，a₃，-a₂成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n+a_n+1≠0，求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁，a₃，-a₂成等差数列．
∴2a₃=a₁-a₂，
设数列{a_n}的公比为q，
由a1=

1

2

，可得2q²=1-q．
解得：q=

1

2

或q=-1．
（1）当q=

1

2

时，a_n=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（2）当q=-1时，a_n=

1

2

×（-1）^n-1=

(-1)n-1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：若a_n+a_n+1≠0，则数列{a_n}的公比为q≠-1．
∴a_n=

1

2n

．
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①

1

2

Sn=1×

1

22

+2×

1

23

+3×

1

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

2+n

2n

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．