题目内容
已知函数f（x）=
，（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及判断函数f（x）的奇偶性；
（2）在△ABC中，f（A）=0，|
|=m，m∈[2，4]．若对任意实数t恒有|
-t
|≥|
|，求△ABC面积的最大值．
|
（1）求f（x）的最小正周期及判断函数f（x）的奇偶性；
（2）在△ABC中，f（A）=0，|
| AC |
| AB |
| AC |
| BC |
考点：二阶矩阵,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）结合行列式的运算性质和三角函数的公式，得到f（x）=
sin（2x+
）-
．然后，结合三角函数的周期性和奇偶性的概念求解；
（2）根据任意实数t恒有|
-t
|≥|
|，求解得到BC⊥AC，然后，求解即可．
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（2）根据任意实数t恒有|
| AB |
| AC |
| BC |
解答：
解：（1）∵函数f（x）=
=2cos（x-
）cos（x+
）-2sin2x
=2sinxcos（x+
）-2sin2x
=
sinxcosx-3sin2x
=
sin2x+
cos2x-
=
sin（2x+
）-
．
∴f（x）=
sin（2x+
）-
．
∴T=
=π，
∴f（-x）≠±f（x），
∴函数f（x）为非奇非偶函数；
（2）∵f（A）=0，
∴f（A）=
sin（2A+
）-
=0．
∴sin（2A+
）=
．
∵0＜A＜π，
∴
＜2A+
＜
，
∴2A+
=
，
∴A=
，
∵对任意实数t恒有|
-t
|≥|
|，
∴BC⊥AC，
∵|AB|=
，|AC|=m，
∴BC≤|
-t
|，
∴S△ABC=
BC•AC≤
．
∴△ABC面积的最大值
．
|
=2cos（x-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
=2sinxcos（x+
| π |
| 6 |
=
| 3 |
=
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴f（x）=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴T=
| 2π |
| 2 |
∴f（-x）≠±f（x），
∴函数f（x）为非奇非偶函数；
（2）∵f（A）=0，
∴f（A）=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴sin（2A+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∵0＜A＜π，
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
∴2A+
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴A=
| π |
| 6 |
∵对任意实数t恒有|
| AB |
| AC |
| BC |
∴BC⊥AC，
∵|AB|=
| 4sin2x |
∴BC≤|
| AB |
| AC |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
8
| ||
| 3 |
∴△ABC面积的最大值
8
| ||
| 3 |
点评：本题重点考查了平面向量的应用、三角恒等变换公式、二倍角公式等知识，属于中档题．
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