Question

数列{a_n}满足：a₁=6，a_n+1=a_n²+4a_n+2，（n∈N^*）
（Ⅰ）设C_n=log₂（a_n+2），求证：{C_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=

1

an-2

-

1

a 2 n +4an

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

7

30

≤T_n＜

1

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把给出的数列递推式变形得到an+1+2=(an+2)2，两边取以2 为底数的对数证得答案；
（Ⅱ）求出（Ⅰ）中等比数列{C_n}的通项公式，代回C_n=log₂（a_n+2）可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）把b_n=

1

an-2

-

1

a 2 n +4an

化为bn=

1

an-2

-

1

an+1-2

，求和后代入首项和a_n+1即可证得答案．

解答： （Ⅰ）证明：由a_n+1=a

2 n

+4a_n+2，得an+1+2=(an+2)2，
∴log₂（a_n+1+2）=2log₂（a_n+2），
∵C_n=log₂（a_n+2），
即C_n+1=2C_n，
∴数列{C_n}是以2为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：∵a₁=6，
∴C₁=log₂（a₁+2）=log₂8=3，
则Cn=3•2n-1，即an+2=23•2n-1，
∴an=23•2n-1-2；
（Ⅲ）证明：把an=23•2n-1-2代入b_n=

1

an-2

-

1

a 2 n +4an

，
得：bn=

1

an-2

-

1

an+1-2

，
则Tn=(

1

a1-2

-

1

a2-2

)+(

1

a2-2

-

1

a3-2

)+…+(

1

an-2

-

1

an+1-2

)
=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

4

-

1

23•2n-4

．
∴

7

30

≤Tn＜

1

4

．

点评：本题是数列与不等式综合题，考查由递推式确定等比关系，训练了裂项相消法求数列的和，考查了由放缩法证明不等式，属中高档题．