Question

已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=x²+x+2
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥ag（x）对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f（x）和g（x）的解析式；
（2）根据不等式恒成立进行转化，利用一元二次不等式的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵f（x）+g（x）=x²+x+2    （1）
∴f（-x）+g（-x）=x²-x+2
∴f（x）-g（x）=x²-x+2    （2）
解（1）（2）联立的方程组得
f（x）=x²+2，g（x）=x．
（2）∵f（x）≥a g（x）对任意实数x恒成立
即x²+2≥ax对任意实数x恒成立
∴x²-ax+2≥0对任意实数x恒成立
∴△=a²-8≤0
∴-2

2

≤a≤2

2

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，根据奇偶性的定义利用方程组法是解决本题的关键．