Question

14．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB∥EA，AC⊥BC，且BC=BD=3，AE=2，AC=3$\sqrt{2}$，AF=2FB
（1）求证：CF⊥EF；
（2）求二面角D-CE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出AB=3$\sqrt{3}$，FB=$\sqrt{3}$，从而推导出CF⊥AB，EA⊥平面ABC，由此能证明CF⊥EA．
（Ⅱ）连结DF，推导出DF⊥EF，DF⊥CF，从而DF⊥平面EFC，进而DF⊥EC，过D作DG⊥EC于G，则EC⊥平面DFG，连结FG，则EC⊥FG，∠DGF是二面角D-CE-F的平面角，由此能求出二面角D-CE-F的余弦值．

解答 证明：（1）∵AC=3$\sqrt{2}$，BC=3，AC⊥BC，∴AB=3$\sqrt{3}$，
∵AF=2FB，∴FB=$\sqrt{3}$，
又cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴CF²=BC²+BF²-2BC×BF×cosB=6，
∵CF²+BF²=BC²，∴CF⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，CF?平面ABC，∴CF⊥EA．
解：（Ⅱ）连结DF，在Rt△EAF中，EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4，
在Rt△DBF中，DF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{3+9}$=2$\sqrt{3}$，
在直角梯形EABD中，ED=$\sqrt{A{B}^{2}+（BD-AF）^{2}}$=$\sqrt{27+（3-2）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵ED²=EF²+DF²，∴DF⊥EF，
∴CF⊥平面EABD，∴DF⊥CF，
∵EF∩CF=F，∴DF⊥平面EFC，∴DF⊥EC，
过D作DG⊥EC于G，则EC⊥平面DFG，
连结FG，则EC⊥FG，
∴∠DGF是二面角D-CE-F的平面角，
在Rt△EFC中，FG=$\frac{FC×FE}{EC}$=$\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{22}}$，
在Rt△DFG中，cos$∠DGF=\frac{FG}{DG}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$，
∴二面角D-CE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．