Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=sinA+cosA=$\sqrt{2}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出A，通过正弦定理求出B，然后求解C，利用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=sinA+cosA=$\sqrt{2}$，
可得$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，可得A=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵a＞b，∴A＞B，可得B=$\frac{π}{6}$，所以C=$\frac{7π}{12}$，
则△ABC的面积为：$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×sin\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查正弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，注意正弦定理以及三角形边角关系的应用，是易错点．