Question

函数f（x）=

x2-2x+4

x

（x＞0）的值域是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：方法一，利用基本不等式求出函数的最小值，从而求出函数的值域；
方法二，利用导数求出函数的最小值，从而求出函数值域．

解答： 解：方法一，函数f（x）=

x2-2x+4

x

=x+

4

x

-2，
当x＞0时，x+

4

x

-2≥2

x• 4 x

-2=2，当且仅当x=2时“=”成立，
∴f（x）的值域是[2，+∞）；
方法二，函数f（x）=

x2-2x+4

x

=x+

4

x

-2，
∵f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
当x＞0时，f′（x）在（0，2]上小于0，在[2，+∞）上大于0，
∴f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（2）=2；
∴f（x）的值域是[2，+∞）；
故答案为：[2，+∞）．

点评：本题考查了利用基本不等式或导数的性质求函数的最值，从而求出函数值域的问题，是基础题．