Question

定义域为R的函数f(x)=

1 |x-3| 2，x=3

x≠3

，若关于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有3个不同实数解x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列说法错误的是（　　）

• A、5+b-2a=1
• B、b＜0
• C、x₁-x₂+x₃=3
• D、x₁²+x₂²+x₃²=9

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：令t=f（x），由题意可得关于t的方程t²-at+b=0 只有一个正实数解为t=2．再由

1

|x-3|

=2，求得x的值，可得原方程有3个解x₁、x₂、x₃的值，由此可得结论．

解答： 解：分段函数f（x）的图象如图所示：令t=f（x），
∵关于x的方程f²（x）-af（x）+b=0有3个不同实数解
x₁，x₂，x₃，
故关于t的方程t²-at+b=0 只有一个正实数解为t=2，
由

1

|x-3|

=2，求得x=-3.5，或x=3.5，
故原方程有3个解为 x₁=-3.5，x₂=3，x₃=3.5，
显然D一定不正确，
故选：D．

点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．