Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos²A-2

3

sinAcosA=-1．
（Ⅰ）若a=2

3

，c=2，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求

b-2c

a•cos(60°+C)

的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得到sinA的值，再由a与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积；
（Ⅱ）原式分子分母利用正弦定理变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，约分即可得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵2cos²A-2

3

sinAcosA=-1，
∴1+cos2A-

3

sin2A=1-2（

3

2

sin2A-

1

2

cos2A）=1-2sin（2A-

π

6

）=-1，即sin（2A-

π

6

）=1，
∵A为三角形内角，即0＜A＜π，
∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+4-12

4b

=

1

2

，
解得：b=4或b=-2（舍去），
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

；
（Ⅱ）已知等式

b-2c

a•cos(60°+C)

，
利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
变形得：

2RsinB-2×2RsinC

2RsinA•cos(60°+C)

=

sinB-2sinC

sinA•cos(60°+C)

=

sin(120°-C)-2sinC

sinA•cos(60°+C)

=

3 2 cosC- 3 2 sinC

3 2 cos(60°+C)

=

3 cos(60°+C)

3 2 cos(60°+C)

=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．