Question

11．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠PAD=∠PAB，AC交BD于O，
（ I）求证：平面PAC⊥平面PBD
（ II）延长BC至G，使BC=CG，连结PG，DG．试在棱PA上确定一点E，使PG∥平面BDE，并求此时$\frac{AE}{EP}$的值．

Answer 1

分析 （ I）只需证明PO⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可证平面PAC⊥平面PBD．
（ II）连接AG交BD于M，在△PAG中，过M作ME∥PG交PA于E，连接ED和EB，可得ADM∽△BGM，$\frac{AM}{GM}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{2}$，PG∥ME，得$\frac{EA}{EP}=\frac{MA}{MG}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{AE}{EP}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（ I）∵∠PAD=∠PAB，AD=AB，∴△PAD≌△PAB，得PB=PD，
∵O为BD中点，∴PO⊥BD，（2分）
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC，（4分）
∵BD?平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD（6分）
（ II）连接AG交BD于M，在△PAG中，过M作ME∥PG交PA于E，连接ED和EB，
∵PG?平面BDE，ME?平面BDE，∴PG∥平面BDE（8分）
∵AD∥BG，BG=2AD，△ADM∽△BGM∴$\frac{AM}{GM}=\frac{AD}{BG}=\frac{1}{2}$，（10分）
∵PG∥ME，∴$\frac{EA}{EP}=\frac{MA}{MG}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{AE}{EP}$=$\frac{1}{2}$（12分）

点评 本题考查了空间线面、面面位置关系，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．属于中档题．