Question

1．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．

x（个）	2	3	4	5	6
y（百万元）	2.5	3	4	4.5	6

（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程y=$\widehatbx+a$；
（Ⅱ）假设该公司在A区获得的总年利润z（单位：百万元）与x，y之间的关系为z=y-0.05x²-1.4，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大？
参考公式：$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+a，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{\;}（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出回归系数，可得y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）求出A区平均每个分店的年利润，利用基本不等式，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=4，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{\;}（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{8.5}{10}$=0.85，a=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=4-4×0.85=0.6，
∴y关于x的线性回归方程y=0.85x+0.6．
（Ⅱ）z=y-0.05x²-1.4=-0.05x²+0.85x-0.8，
A区平均每个分店的年利润t=$\frac{z}{x}$=-0.05x-$\frac{0.8}{x}$+0.85=-0.01（5x+$\frac{80}{x}$）+0.85，
∴x=4时，t取得最大值，
故该公司应在A区开设4个分店时，才能使A区平均每个分店的年利润最大

点评 本题考查回归方程，考查基本不等式的运用，正确求出回归方程是关键．