Question

2．设点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x-y≤0\\ x+y-6≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域内，则$z=\frac{9xy}{{9{x^2}+{y^2}}}$的取值范围为（　　）

• A． $[{\frac{18}{13}，\frac{3}{2}}]$
• B． $[{\frac{45}{34}，\frac{3}{2}}]$
• C． $[{\frac{45}{34}，\frac{18}{13}}]$
• D． $[{\frac{18}{13}，\frac{45}{34}}]$

Answer 1

分析 画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x-y≤0\\ x+y-6≤0\end{array}\right.$表示的平面区域，化$z=\frac{9xy}{{9{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{9（\frac{y}{x}）}{9{+（\frac{y}{x}）}^{2}}$，设t=$\frac{y}{x}$，利用斜率求出t的取值范围，再利用基本不等式求出z的取值范围．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2x-y≤0\\ x+y-6≤0\end{array}\right.$所表示的平面区域内如图所示，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$求出点A（1，5）；

又$z=\frac{9xy}{{9{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{9（\frac{y}{x}）}{9{+（\frac{y}{x}）}^{2}}$，
设t=$\frac{y}{x}$，则k_BC≤t≤k_OA，即2≤t≤5，
∴z=$\frac{9t}{9{+t}^{2}}$=$\frac{9}{\frac{9}{t}+t}$；
又2≤t≤5，
∴2•$\sqrt{\frac{9}{t}•t}$≤$\frac{9}{t}$+t≤$\frac{9}{5}$+5，
即6≤$\frac{9}{t}$+t≤$\frac{34}{5}$，
∴$\frac{45}{34}$≤$\frac{9}{\frac{9}{t}+t}$≤$\frac{3}{2}$，
即z的取值范围是[$\frac{45}{34}$，$\frac{3}{2}$]．
故选：B．

点评 本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合题．