Question

6．设函数f（x）的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，则称f（x）为“倍缩函数”．若函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，ln2-1）
• B． （-∞，ln2-1]
• C． （1-ln2，+∞）
• D． [1-ln2，+∞）

Answer 1

分析 由题意，函数f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，且是增函数；可以转化为方程lnx-$\frac{x}{2}$+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0的问题，从而求出t的范围．

解答 解：∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{lna+t=\frac{a}{2}}\\{lnb+t=\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，
即$lnx-\frac{x}{2}+t=0$在（0，+∞）上有两根，
即y=t和g（x）=$\frac{x}{2}$-lnx在（0，+∞）有2个交点，
g′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-2}{2x}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故g（x）≥g（2）=1-ln2，
故t＞1-ln2，
故选C：．

点评 本题考查了函数的值域问题，解题时应构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，是中档题．