Question

已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值．

Answer 1

考点：平均值不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得（x+y）²+（x-y）²=4，再根据((x+y)2+(x-y)2)(

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

)≥4，求得

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值．

解答： 解：∵x²+y²=2，∴（x+y）²+（x-y）²=4．
∵((x+y)2+(x-y)2)(

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

)≥4，∴

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

≥1，
当且仅当x=±

2

，y=0，或x=0，y=±

2

时，

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

取得最小值是1．

点评：本题主要考查绝对值不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．