Question

已知函数f_n（x）=

x2-2x-a

enx

，其中n∈N^*，a∈R，e是自然对数的底数．
（1）求函数g（x）=f₁（x）-f₂（x）的零点；
（2）若对任意n∈N^*，f_n（x）均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；
（3）已知k，m∈N^*，k＜m，且函数f_k（x）在R上是单调函数，探究函数f_m（x）的单调性．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）表示出g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，e^x-1有一零点0，只需讨论x²-2x-a的零点情况，△=4+4a，分△＜0，△=0，△＞0三种情况进行讨论可得‘
（2）fn′(x)=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

e2nx

=

-nx2+2(n+1)x+an-2

enx

，令g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，则问题等价于对任意n∈N^*，g_n（x）=0有两个不等实数根x₁，x₂，且x₁∈（1，4），x₂∉[1，4]，进而由零点判定定理得对任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，化为恒成立可求；
（3）可知函数f_k（x）在R上是单调减函数，从而f′_k（x）＜0，则△k=4(k+1)2+4k(ka-2)=4（k²a+k²+1）≤0，由此推导f′_m（x）的符号可得结论；

解答： 解：（1）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

x2-2x-a

ex

-

x2-2x-a

e2x

=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，
△=4+4a，
①当a＜-1时，△＜0，函数g（x）有1个零点：x₁=0；
②当a=-1时，△=0，函数g（x）有2个零点：x₁=0，x₂=1，；
③当a=0时，△＞0，函数g（x）有两个零点：x₁=0，x₂=2；
④当a＞-1，a≠0时，△＞0函数g（x）有三个零点：x₁=0，x₂=1-

a+1

，x3=1+

a+1

；
（2）fn′(x)=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

e2nx

=

-nx2+2(n+1)x+an-2

enx

，
设g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的图象是开口向下的抛物线．
由题意对任意n∈N^*，g_n（x）=0有两个不等实数根x₁，x₂，且x₁∈（1，4），x₂∉[1，4]，
则对任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，即n（a+1）•n•[a-（8-

6

n

）]＜0，
又任意n∈N^*，8-

6

n

关于n递增，8-

6

n

＞-1，
故-1＜a＜（8-

6

n

）_min，-1＜a＜8-6=2，
∴a的取值范围是（-1，2）．
（3）由（2）知，存在x∈R，fk′(x)=

-kx2+2(k+1)x+ak-2

ekx

＜0，
又函数f_k（x）在R上是单调函数，故函数f_k（x）在R上是单调减函数，
从而△k=4(k+1)2+4k(ka-2)=4（k²a+k²+1）≤0，即a≤-(1+

1

k2

)，
∴△m=4(m2+1+m2a)≤4[m2+1-m2(1+

1

k2

)]=

4(k2-m2)

k2

，
由k，m∈N^*，k＜m，知△_m＜0，即对任意x∈R，f′m(x)=

-mx2+2(m+1)x+am-2

emx

＜0，
故函数f_m（x）在R上是减函数．

点评：本题考查利用导数研究函数的零点、极值点、单调性等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高．