Question

已知函数f（x）=

1

x

+alnx（a≠0，a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间（0，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出相应的切线方程．
（II）若在区间（0，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区间[1，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

x

+alnx（a≠0，a∈R）．
∴x＞0，且f′（x）=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

若a=1，则f′（x）=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

=

x-1

x2

，
f′（1）=0，f（1）=1+ln1=1，
故函数f（x）在x=1处的切线方程是y=1；
（Ⅱ）∵f（x）=-

1

x2

+

a

x

=

ax-1

x2

，（a≠0，a∈R）．
令f′（x）=0，得到x=

1

a

，
若在区间[1，e]上存在一点x₀，使得f（x₀）＜0成立，
其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．
（1）当x=

1

a

＜0，即a＜0时，f′（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，
∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=

1

e

+alne=

1

e

+a，
由

1

e

+a＜0，得a＜-

1

e

．
（2）当x=

1

a

＞0，即a＞0时，
①若e≤

1

a

，则f′（x）≤0对x∈[1，e]成立，
∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，
∴f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=

1

e

+alne=

1

e

+a＞0，
显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立．
②若1＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，则有

x	（1， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，e）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

∴f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（

1

a

）=a+aln

1

a

，
由f（

1

a

）=a+aln

1

a

=a（1-lna）＜0，
得1-lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．
综上，由（1）（2）可知：a∈（-∞，-

1

e

）∪（e，+∞）．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最值问题，考查学生的计算能力，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．