Question

【题目】已知的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为

（1）求展开式中有理项的个数；

（2）求展开式中系数最大的项.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为，可得，解出，再由通项公式，，分析即得；（2）根据各项系数的和均为，可得，解出或，再由通项公式分情况进行计算即得.

先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为求出.

（1）的二项展开式的各二项式系数的和为，各项系数的和为，由已知得，故

此时展开式的通项为：，，当时，该项为有理项，故有理项的个数为.

（2）由，得或

当时，展开式通项为，，故二项式系数最大时系数最大，即第项系数最大，即系数最大的项为；

当时，，，展开式系数最大的项是奇数项，其中，，，，，故展开式中系数最大的项为第项，即系数最大的项为.

综上，展开式中系数最大的项为或.