题目内容
【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，AP⊥CD，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，E，F分别为AD，PC的中点．求证：
（1）AP∥平面BEF；
（2）平面BEF⊥平面PAC．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）设
，连接
，通过中位线证明
来证明
平面
.（2）证明四边形
为菱形，得到
，利用
得到
，由此证得
平面
，从而证得平面
平面.
证明：
(1)设AC交BE于点O，连接OF，连接CE．
因为AE＝BC＝1，AD∥BC，所以四边形ABCE为平行四边形．
所以点O为AC的中点，又因为点F为PC的中点．所以OF∥AP．
又因为OF平面BEF，AP平面BEF所以AP∥平面BEF
(2)因为AD∥BC，ED＝BC＝1，所以四边形BCDE为平行四边形．所以BE∥CD．
因为AP⊥CD，所以AP⊥BE．又因为四边形ABCE为平行四边形，AB＝BC，
所以四边形ABCE为菱形．所以AC⊥BE．
又因为AP⊥BE，AP∩AC＝A，AP平面APC，AC平面APC．
所以BE⊥平面APC．
因为BE平面BEF．所以平面BEF⊥平面PAC．
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【题目】湖北省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到
、
、
、
、
五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
等级 | A | B | C | D | E |
比例 | 15% | 35% | 35% | 13% | 2% |
赋分区间 |
|
|
|
|
|
而等比例转换法是通过公式计算：
，其中
、
分别表示原始分区间的最低分和最高分，
、
分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为
、时，等级分分别为、，假设小明同学的生物考试成绩信息如下表：
考试科目 | 考试成绩 | 成绩等级 | 原始分区间 | 等级分区间 |
生物 | 75分 | B等级 |
|
|
设小明转换后的等级成绩为T，根据公式得：
，所以
（四舍五入取整），小明最终生物等级成绩为77分.已知某学校学生有60人选了政治，以期中考试成绩为原始成绩转换该学校选政治的学生的政治等级成绩，其中政治成绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：
成绩 | 90 | 86 | 81 | 80 | 79 | 78 | 75 |
人数 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 |
（1）从政治成绩获得A等级的学生中任取3名，求至少有2名同学的等级成绩不小于93分的概率；
（2）从政治成绩获得A等级的学生中任取4名，设4名学生中等级成绩不小于93分人数为
，求的分布列和期望.
