Question

【题目】已知，都是各项为正数的数列，且，．对任意的正整数n，都有，，成等差数列，，，成等比数列．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若存在p＞0，使得集合M＝恰有一个元素，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)（2）见解析

【解析】

（1）利用等差中项和等比中项的性质，列方程组，解方程求得公差和公比，由此求得数列的通项公式.（2）构造数列，当时，利用数列的单调性求得的范围；当或时，不符合题意；当时，利用的唯一最大值不小于，求得的取值范围.最后综上所述求得的取值范围.

解:（1）根据题意，2bn2＝an＋an＋1 ①， an＋1＝bnbn＋1 ②，

于是a2＝3，b2＝，2bn＋12＝an＋1＋an＋2＝bnbn＋1＋bn＋1bn＋2，

又因为bn＞0，上式可化简为:2bn＋1＝bn＋bn＋2对任意n∈N*恒成立，

所以数列{bn}是以b1＝为首项，b2－b1＝为公差的等差数列，

所以数列{bn}的通项公式bn＝ (n＋1)，

把上式代入②，则an＋1＝，

特别地，当a1＝1也符合上式，故数列{an}的通项公式an＝n(n＋1)．

（2）令cn＝，则＝，

当p＞3，数列{cn}单调递减，因为集合M中只有一个元素，所以c2＜λ≤c1，

即 ＜λ≤；

当p＝3， c1＝c2＞c3＞c4＞…，M中不可能只有一个元素，所以不符合题意；

当0＜p≤1，数列{cn}单调递增，M中不可能只有一个元素，所以不符合题意；

当1＜p＜3，令k＝[]∈N，即k是小于等于的最大整数，则＜p－1≤．

①若p＝＋1时，则c1＜c2＜…＜ck＝ck＋1＞ck＋2＞ck＋3＞…，M中不可能只有一个元素，所 以不符合题意；

②若＋1＜p＜时，则c1＜c2＜…＜ck＜ck＋1＞ck＋2＞ck＋3＞…，

且ck＋2＞ck，所以ck+2＜λ≤ck＋1，即＜λ≤；

③若≤p＜＋1时，则c1＜c2＜…＜ck＜ck＋1＞ck＋2＞ck＋3＞…，

且ck＋2≤ck，所以ck＜λ≤ck＋1，即＜λ≤；

综上，当p＞3时，＜λ≤；

当1＜p＜3时，取k＝[]∈N，

（i）若＋1＜p＜时，＜λ≤；

（ii）若≤p＜＋1时，＜λ≤．