题目内容
19．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若|AB|=6，则△AOB的面积为（ ）| A． | $\sqrt{6}$ | B． | $2\sqrt{2}$ | C． | $2\sqrt{3}$ | D． | 4 |
分析 求得焦点坐标，将直线方程代入抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式求得k的值，则S△AOB=$\frac{1}{2}$|OF|•|y1-y2|，即可求得△AOB的面积．
解答 
解：根据题意，抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）．
设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x，得y2-$\frac{4}{k}$y-4=0，
y1+y2=$\frac{4}{k}$，y1y2=-4．则x1+x2=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{k}$+2=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，
丨AB丨=x1+x2+p=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2+2=6，则k=±$\sqrt{2}$，
|y1-y2|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2$\sqrt{6}$，
S△AOB=S△AOF+S△BOF=$\frac{1}{2}$|OF|•|y1-y2|=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{6}$=$\sqrt{6}$，
△AOB的面积$\sqrt{6}$，
故选A．
点评 本题考查抛物线的焦点弦公式，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
